<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Contents: Math typesetting with LaTeX
% $Id: math.tex 534 2015-04-09 13:03:16Z oetiker $
%
% Changes by Stefan M. Moser: 2008/10/22
%
% -Section 2: "Single Equations": added comment about preference of
%  equation* over \[
% -Replaced (almost) all examples with \[ by equation*
% -New section 4: "Single Equations that are Too Long: multline"
% -New section 5: "Multiple Equations"
% -Section 6: "Arrays and Matrices": made a full section and added
%  some material
% -Section 9: "Theorems, Lemmas, ...": added a subsection about proofs
%  with new material
%
% Other Changes:
% -in lshort.sty:
%    *example environment adapted: changed in three places
%     \textwidth by \linewidth. This is necessary for
%     example-environment within a itemize-list.
%    *added \RequirePackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}
%
% THINGS TO DO:
% -adapt typesetting of new sections to rest of lshort, including all
%  the usual commands used so far. In particular, I guess we have to
%  get rid of the \verb-commands everywhere
% -include index-commands
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Valemite vormistamine}

\begin{intro}
NÃ¼Ã¼d oled valmis! Selles peatÃ¼kis rÃ¼ndame \TeX i peamist tugevust,
valemite ladumist. Kuid ole hoiatatud, see peatÃ¼kk puudutab ainult
pealispinda. Kuigi siin selgitatud asjad on enamasti piisavad, Ã¤ra heida
meelt, kui siit oma valemite vormistusprobleemile lahendust ei leia.
VÃ¤ga tÃµenÃ¤oliselt on seda probleemi kÃ¤sitletud \AmS-\LaTeX is.
\end{intro}

\section{\texorpdfstring{\AmS}{AMS}-\LaTeX i komplekt}

Soovides panna kirja (keerukamaid) \index{valem}valemeid, tuleks
kasutada \index{AmSLaTeX@\AmS-\LaTeX}\AmS-\LaTeX i. \AmS-\LaTeX{} on
kogum pakette ja klasse matemaatilise trÃ¼kiladumise tarbeks. Enamasti
tegeleme selle komplekti paketiga \pai{amsmath}. \AmS-\LaTeX i on loonud
\wi{Ameerika Matemaatika Selts} ja seda kasutatakse laialdaselt
matemaatilise teksti vormistamiseks. Ka \LaTeX il endal on olemas mÃµned
elementaarsed vahendid ja keskkonnad valemite moodustamiseks, kuid need
on piiratud (vÃµi ehk vastupidigi: \AmS-\LaTeX{} on \emph{piiramatu}!) ja
mÃµnel juhul ebaÃ¼htlased.

\AmS-\LaTeX{} kuulub distributsiooni tuuma ja tuleb kaasa kÃµigi
hilisemate \LaTeX i distributsioonidega.\footnote{Kui see siiski
konkreetsest distributsioonist puudub, tuleks seda otsida aadressilt
\CTAN|pkg/amslatex|.} Selles peatÃ¼kis eeldame, et \pai{amsmath} loetakse
sisse preambulis: \verb|\usepackage{amsmath}|.

\section{Ãœksikvalemid}

Valemi vÃµib trÃ¼kkida rea sees (\emph{\wi{tekstistiil}is}) vÃµi
tÃ¼keldada lÃµik ja trÃ¼kkida valem eraldi real
(\emph{\wi{esitlusstiil}is}). LÃµigu \emph{sees} olevad valemid
kirjutatakse \index{$@\texttt{\$}} %$
\texttt{\$} ja \texttt{\$} vahele:

\begin{example}
Liida $a$ ruudus ja $b$ ruudus
ning saad $c$ ruudus. VÃµi
matemaatilisemalt kÃµneldes:
$a^2 + b^2 = c^2$
\end{example}
\begin{example}
\TeX{} hÃ¤Ã¤ldub kui
$\tau\epsilon\chi$\\[5pt]
100~m$^{3}$ vett\\[5pt]
See tuleb minu $\heartsuit$-st
\end{example}

Kui on vaja, et suurem valem trÃ¼kitaks Ã¼lejÃ¤Ã¤nud lÃµigust eraldi, siis on
mÃµistlik ta \emph{esile tÃµsta}. Selleks tuleks valem panna
spetsiaalsesse valemikeskkonda kÃ¤skude
\verb|\begin{|\ei{equation}\verb|}| ja \verb|\end{equation}|
vahele.\footnote{See on \pai{amsmath}i keskkond. Kui mingil arusaamatul
pÃµhjusel sellele paketile juurdepÃ¤Ã¤s puudub, vÃµib selle asemel kasutada
\LaTeX i enda keskkonda \ei{displaymath}.} SeejÃ¤rel saab kÃ¤su \ci{label}
abil Ã¤ra mÃ¤rkida valemi numbri ja viidata sellele mujalt tekstist kÃ¤suga
\ci{eqref}. Kui on tarvis anda valemile omaette nimi, vÃµib selle mÃ¤Ã¤rata
kÃ¤suga \ci{tag}.
\begin{example}
Liida $a$ ruudus ja $b$ ruudus
ning saad $c$ ruudus. VÃµi
matemaatilisemalt kÃµneldes:
 \begin{equation}
   a^2 + b^2 = c^2
 \end{equation}
Einstein Ã¼tleb:
 \begin{equation}
   E = mc^2 \label{tark}
 \end{equation}
Ta ei Ã¼telnud
 \begin{equation}
  1 + 1 = 3 \tag{rumal}
 \end{equation}
See on viide valemile
\eqref{tark}.
\end{example}

Kui valemeid ei ole vaja automaatselt nummerdada, siis tuleks kasutada
keskkonna \ei{equation} tÃ¤rniga varianti
\ei{equation*},\footnote{See on jÃ¤llegi \pai{amsmath}. Standard-\LaTeX
is on olemas ainult keskkond \ei{equation} ilma
tÃ¤rnita.}\index{keskkond!tÃ¤rniga}\index{tÃ¤rniga keskkond} vÃµi mis veel
lihtsam, panna valem \ci{[} ja \ci{]} vahele:
\begin{example}
Liida $a$ ruudus ja $b$ ruudus
ning saad $c$ ruudus. VÃµi
matemaatilisemalt kÃµneldes:
 \begin{equation*}
   a^2 + b^2 = c^2
 \end{equation*}
vÃµi vÃ¤hema sisestamistÃ¶Ã¶ga,
aga ikka sama tulemust saades:
 \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\end{example}
Kuigi \ci{[} on lÃ¼hike ja kena, ei luba ta Ã¼mberlÃ¼litumist nummerdatud ja
nummerdamata stiili vahel nii lihtsasti kui \ei{equation} ja
\ei{equation*}.

Tasub tÃ¤hele panna erinevust \wi{tekstistiil}is ja \wi{esitlusstiil}is
valemite vahel:
\begin{example}
See on tekstistiil:
$\lim_{n \to \infty}
 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
 = \frac{\pi^2}{6}$.
Ja see on esitlusstiil:
 \begin{equation}
  \lim_{n \to \infty}
  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
  = \frac{\pi^2}{6}
 \end{equation}
\end{example}

Tekstistiilis vÃµib kÃµrged vÃµi sÃ¼gavad matemaatilised avaldised vÃµi
alam"-avaldised anda kÃ¤su \ci{smash} argumendiks. Sellega ignoreerib
\LaTeX{} nende avaldiste pÃ¼stsuunalist ulatust, mis hoiab reavahe
Ã¼htlasena.

\begin{example}
Avaldis $a_{l_{l_a}}$, millele
jÃ¤rgneb teine avaldis
$\ddot u^{l^{e^s}}$. VÃµrdluseks
purustatud avaldis
\smash{$a_{l_{l_a}}$}, millele
jÃ¤rgneb avaldis
\smash{$\ddot u^{l^{e^s}}$}.
\end{example}

\subsection{Valemire\v{z}iim}

Erinevusi on ka \emph{\wi{valemire\v{z}iim}i} ja
\emph{tekstire\v{z}iimi} vahel. NÃ¤iteks on \emph{valemire\v{z}iimil}
jÃ¤rgmised iseÃ¤rasused.

\begin{enumerate}

\item \index{vahe!valemis}\index{tÃ¼hik!valemis}Enamikul tÃ¼hikutel ja
reavahetustel puudub igasugune tÃ¤htsus, sest kÃµik tÃ¼hikud kas
tuletatakse loogiliselt avaldisest endast vÃµi sisestatakse erikÃ¤skudega
nagu \ci{,}, \ci{quad} vÃµi \ci{qquad} (hiljem tuleme selle juurde
tagasi, vt jaotist~\ref{sec:math-spacing}).

\item TÃ¼hjad read ei ole lubatud. Ainult Ã¼ks lÃµik valemi kohta.

\item Iga tÃ¤hte kÃ¤sitletakse muutujanimena ja vormistatakse vastavalt.
Kui valemi sees on vaja trÃ¼kkida tavalist teksti (tavalises pÃ¼stkirjas
ja tavaliste vahedega), siis tuleks see tekst valemisse lisada kÃ¤suga
\verb|\text{...}| (vt ka jaotist \ref{sec:fontsz} lehekÃ¼ljel
\pageref{sec:fontsz}).

\end{enumerate}
\begin{example}
$\forall x \in \mathbf{R}:
 \qquad x^{2} \geq 0$
\end{example}
\begin{example}
$x^{2} \geq 0\qquad
 \text{iga }x\in\mathbf{R}
 \text{ puhul}$
\end{example}

Matemaatikud vÃµivad olla sÃ¼mbolite suhtes vÃ¤ga pirtsakad: harilikult
kasutatakse siin "`\wi{tahvlipaks}u"' kirja,\index{paksud sÃ¼mbolid} mis
saadakse kÃ¤suga \ci{mathbb} paketist \pai{amssymb}.\footnote{Pakett
\pai{amssymb} ei kuulu paketikogumikku
\AmS-\LaTeX{}, kuid installitud \LaTeX i
sÃ¼steemis on ta arvatavasti siiski olemas. Tasub kontrollida oma
distributsiooni vÃµi hankida see pakett aadressilt
\CTAN|pkg/amsfonts|.}\index{AmSLaTeX@\AmS-\LaTeX}
\ifx\mathbb\undefined\else Viimane nÃ¤ide teiseneb siis kujule
\begin{example}
$x^{2} \geq 0\qquad
 \text{iga } x
 \in \mathbb{R} \text{ puhul}$
\end{example}
\fi
Valemikirju leiab ka tabelist~\ref{mathalpha}
lehekÃ¼ljel~\pageref{mathalpha} ja tabelist~\ref{mathfonts}
lehekÃ¼ljel~\pageref{mathfonts}.

\section{Valemite ehituskivid}

Selles jaotises kirjeldame kÃµige tÃ¤htsamaid valemitrÃ¼kkimiskÃ¤ske. Enamik
selle jaotise kÃ¤skudest ei nÃµua paketti \pai{amsmath} (kui nÃµuavad,
siis on see selgelt vÃ¤lja toodud), kuid nimetatud paketi vÃµib ikkagi
sisse lugeda.

\textbf{VÃ¤ikesed \wi{kreeka tÃ¤hed}} sisestatakse kui \verb|\alpha|,
\verb|\beta|, \verb|\gamma|, \ldots{} ning suured tÃ¤hed kui
\verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, \ldots\footnote{Suurt alfat, beetat jne
\LaTeX{} ei defineeri, sest need nÃ¤evad vÃ¤lja samasugused nagu ladina A,
B, \ldots}

Kreeka tÃ¤htede loend on tabelis~\ref{greekletters}
lehekÃ¼ljel~\pageref{greekletters}.
\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\theta,
 \mu,\Phi,\Omega,\Delta$
\end{example}

\textbf{Astendajad}, \textbf{Ã¼laindeksid} ja \textbf{alaindeksid}
mÃ¤Ã¤ratakse
sÃ¼mbolitega\index{astendaja}\index{Ã¼laindeks}\index{alaindeks}
\verb|^|\index{^@\texttt{\^{}}} ja \verb|_|\index{_@\texttt{\_}}. Enamik
valemire\v{z}iimi kÃ¤ske mÃµjutab ainult jÃ¤rgmist mÃ¤rki, mistÃµttu tuleks
olukorras, kus kÃ¤su mÃµju peab ulatuma mitmele mÃ¤rgile, Ã¼hendada need
\index{rÃ¼hm}rÃ¼hmaks looksulgude \verb|{...}| abil.

Tabelis~\ref{binaryrel} lehekÃ¼ljel~\pageref{binaryrel} on loetletud
palju kahekohalisi relatsioone, nagu nÃ¤iteks $\subseteq$ ja $\perp$.

\begin{example}
$p^3_{ij} \qquad
 m_\text{Knuth}\qquad
\sum_{k=1}^3 k \\[5pt]
 a^x+y \neq a^{x+y}\qquad
 e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}

\textbf{\index{ruutjuur}Ruutjuur} saadakse kui \ci{sqrt}, $n$-s juur
sisestatakse konstruktsiooniga \verb|\sqrt[|$n$\verb|]|. Juure suuruse
valib \LaTeX{} automaatselt. Kui vaja on ainult juuremÃ¤rki, siis selleks
on kÃ¤sk \ci{surd}.

Tabelis~\ref{tab:arrows} lehekÃ¼ljel \pageref{tab:arrows} on kujutatud
mitmesugust liiki nooled, nagu $\hookrightarrow$ ja $\rightleftharpoons$.
\begin{example}
$\sqrt{x} \Leftrightarrow x^{1/2}
 \quad \sqrt[3]{2}
 \quad \sqrt{x^{2} + \sqrt{y}}
 \quad \surd[x^2 + y^2]$
\end{example}

\index{punktid}
\index{vertikaalpunktid}
\index{horisontaalpunktid}

Kuigi \textbf{\wi{korrutamispunkt}} jÃ¤etakse tavaliselt
kirjutamata, pannakse ta mÃµnikord siiski selleks, et aidata silmal
valemit rÃ¼hmitada. Ãœksiku tsentreeritud punkti trÃ¼kib kÃ¤sk \ci{cdot}.
Tsentreeritud \index{kolm
punkti}\index{punktid}\index{mÃµttepunktid}\index{...@\ldots}\textbf{kolm
punkti} saab kÃ¤suga \ci{cdots} ning
madalal (alusjoonel) asuvad kolm punkti kÃ¤suga \ci{ldots}. Lisaks on
olemas kÃ¤sud \ci{vdots} vertikaalsete ja \ci{ddots} \index{diagonaalsed
punktid}diagonaalsete punktide jaoks. Rohkem nÃ¤iteid leiab
jaotisest~\ref{sec:arraymat}.
\begin{example}
$\Psi = v_1 \cdot v_2
 \cdot \ldots \qquad
 n! = 1 \cdot 2
 \cdots (n-1) \cdot n$
\end{example}

KÃ¤sud \ci{overline} ja \ci{underline} panevad avaldise kohale vÃµi alla
\textbf{horisontaaljoone}: \index{horisontaaljoon}
\index{joon!horisontaalne}
\begin{example}
$0{,}\overline{3} =
 \underline{\underline{1/3}}$
\end{example}

KÃ¤sud \ci{overbrace} ja \ci{underbrace} joonistavad avaldise kohale vÃµi
alla pika \textbf{horisontaalsulu}: \index{horisontaalsulg}
\index{sulg!horisontaalne}
\begin{example}
$\underbrace{\overbrace{a+b+c}^6
 \cdot \overbrace{d+e+f}^7}
 _\text{elu mÃµte} = 42$
\end{example}

\index{diakriitilised mÃ¤rgid!valemis}Tabelis~\ref{mathacc}
lehekÃ¼ljel~\pageref{mathacc} on loetletud kÃ¤sud, millega saab muutujate
kohale lisada matemaatilisi lisamÃ¤rke nagu \textbf{vÃ¤ikesed nooled} vÃµi
\textbf{\wi{tilde}}. Laiad katused ja tilded, mis haaravad mitu mÃ¤rki,
moodustatakse kÃ¤skudega \ci{widehat} ja \ci{widetilde}. TÃ¤hele tasub
panna kÃ¤skude \ci{hat} ja \ci{widehat} erinevust ning kÃ¤su \ci{bar}
Ã¼lakriipsu asukohta alaindeksiga muutuja puhul.
\index{apostroof}Apostroof \verb|'| annab
\wi{priim}i: % a dash is --
\begin{example}
$f(x) = x^2 \qquad f'(x)
 = 2x \qquad f''(x) = 2\\[5pt]
 \hat{XY} \quad \widehat{XY}
 \quad \bar{x_0} \quad \bar{x}_0$
\end{example}

\textbf{Vektorid}\index{vektor} mÃ¤Ã¤ratakse sageli vÃ¤ikese
\index{noolemÃ¤rk}noolemÃ¤rgi lisamisega muutuja kohale, seda saab teha
kÃ¤suga \ci{vec}. KÃ¤skudega \ci{overrightarrow} ning \ci{overleftarrow}
saab mÃ¤rkida vektorit punktist $A$ punkti $B$:
\begin{example}
$\vec{a} \qquad
 \vec{AB} \qquad
 \overrightarrow{AB}$
\end{example}

Funktsioonide nimed vormistatakse harilikult pÃ¼stkirjas, mitte kursiivis
nagu muutujad, seetÃµttu on \LaTeX is olemas jÃ¤rgmised kÃ¤sud kÃµige
sagedasemate funktsiooninimede trÃ¼kkimiseks: \index{funktsiooninimed}
\begin{center}
\begin{tabular}{llllll}
\ci{arccos} &amp;  \ci{cos}  &amp;  \ci{csc} &amp;  \ci{exp} &amp;  \ci{ker}    &amp; \ci{limsup} \\
\ci{arcsin} &amp;  \ci{cosh} &amp;  \ci{deg} &amp;  \ci{gcd} &amp;  \ci{lg}     &amp; \ci{ln}     \\
\ci{arctan} &amp;  \ci{cot}  &amp;  \ci{det} &amp;  \ci{hom} &amp;  \ci{lim}    &amp; \ci{log}    \\
\ci{arg}    &amp;  \ci{coth} &amp;  \ci{dim} &amp;  \ci{inf} &amp;  \ci{liminf} &amp; \ci{max}    \\
\ci{sinh}   &amp; \ci{sup}   &amp;  \ci{tan}  &amp; \ci{tanh}&amp;  \ci{min}    &amp; \ci{Pr}     \\
\ci{sec}    &amp; \ci{sin} \\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{example}
\begin{equation*}
  \lim_{x \rightarrow 0}
  \frac{\sin x}{x}=1
\end{equation*}
\end{example}

Sellest nimekirjast puuduvaid funktsioone saab ise defineerida kÃ¤suga
\ci{DeclareMathOperator}. Sellest olemas ka tÃ¤rniga versioon rajadega
funktsioonide jaoks.\index{kÃ¤sk!tÃ¤rniga}\index{tÃ¤rniga kÃ¤sk} See kÃ¤sk
tÃ¶Ã¶tab ainult preambulis, nii et alltoodud nÃ¤ite kommenteeritud read
tuleb panna preambulisse:
\begin{example}
%\DeclareMathOperator{\argh}{argh}
%\DeclareMathOperator*{\nut}{Nut}
\begin{equation*}
  3\argh = 2\nut_{x=1}
\end{equation*}
\end{example}

\index{moodulifunktsioon}Moodulifunktsiooni saamiseks on kaks kÃ¤sku:
\ci{bmod} kahekohalise operaatori $a \bmod b$ jaoks ja \ci{pmod}
avaldiste nagu $x\equiv a \pmod{b}$ jaoks:
\begin{example}
$a\bmod b \\
 x\equiv a \pmod{b}$
\end{example}

Mitmekorruselised \index{murd}\textbf{murrud} luuakse kÃ¤suga
\ci{frac}\verb|{...}{...}|.
\index{tekstistiil}\index{esitlusstiil}Tekstistiilis valemites
vormistatakse murd kokkusurutult, et ta reale Ã¤ra mahuks. Esitlusstiilis
saab seda stiili jÃ¤ljendada kÃ¤suga \ci{tfrac}. Vastupidine, st
esitlusstiilis valem teksti sees, moodustatakse kÃ¤suga \ci{dfrac}. Tihti
on eelistatum kaldkriipsuga kuju $1/2$, sest see nÃ¤eb vÃ¤ikese koguse
"`murrulise materjali"' puhul parem vÃ¤lja:
\begin{example}
Esitlusstiilis:
\begin{equation*}
  3/8 \qquad \frac{3}{8}
  \qquad \tfrac{3}{8}
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
Tekstistiilis:
$1\frac{1}{2}$~tundi \qquad
$1\dfrac{1}{2}$~tundi
\end{example}

KÃ¤sk \ci{partial} annab \wi{osatuletis}e mÃ¤rgi:
\begin{example}
\begin{equation*}
  \sqrt{\frac{x^2}{k+1}}\qquad
  x^\frac{2}{k+1}\qquad
  \frac{\partial^2f}
  {\partial x^2}
\end{equation*}
\end{example}

\index{binoomkordaja}Binoomkordajate vÃµi sarnaste struktuuride
trÃ¼kkimiseks on kÃ¤sk
\ci{binom} paketist \pai{amsmath}:
\begin{example}
Pascali valem on
\begin{equation*}
 \binom{n}{k} =\binom{n-1}{k}
 + \binom{n-1}{k-1}
\end{equation*}
\end{example}

Kahekohaliste relatsioonide puhul vÃµib teinekord olla vaja paigutada
mÃ¤rke Ã¼ksteise kohale. KÃ¤sk \ci{stackrel}\verb|{#1}{#2}| paneb
argumendis \verb|#1| antud mÃ¤rgi Ã¼laindeksi suurusena argumendi
\verb|#2| kohale, mis ise trÃ¼kitakse tavalisse asukohta.
\begin{example}
\begin{equation*}
 f_n(x) \stackrel{*}{\approx} 1
\end{equation*}
\end{example}

\textbf{\index{integraaloperaator}Integraaloperaatori} mÃ¤rk
moodustatakse kÃ¤suga \ci{int}, \textbf{\wi{summaoperaator}i} mÃ¤rk kÃ¤suga
\ci{sum} ja \textbf{\wi{korrutamisoperaator}i} mÃ¤rk kÃ¤suga \ci{prod}.
Ãœlemine ja alumine raja mÃ¤Ã¤ratakse sÃ¼mbolitega
\index{^@\texttt{\^{}}}\verb|^|~ja~\index{_@\texttt{\_}}\verb|_| nagu
Ã¼laindeks ja alaindeks:
\begin{example}
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n \qquad
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\prod_\epsilon
\end{equation*}
\end{example}

Saavutamaks suuremat kontrolli indeksite paigutuse Ã¼le keerukamates
avaldistes, on paketis \pai{amsmath} defineeritud kÃ¤sk \ci{substack}:
\begin{example}
\begin{equation*}
\sum^n_{\substack{0&lt;i&lt;n \\
        j\subseteq i}}
   P(i,j) = Q(i,j)
\end{equation*}
\end{example}

\LaTeX is on saadaval iga sorti mÃ¤rgid \textbf{\index{sulud}sulgude}
ja muude \textbf{\index{piirajad}piirajate} jaoks
(nt~$[\;\langle\;\|\;\updownarrow$). Ãœmar- ja nurksulge vÃµib lisada
vastavate klahvidega ning looksulge kÃ¤suga \verb|\{|, kuid kÃµik
Ã¼lejÃ¤Ã¤nud piirajad genereeritakse spetsiaalsete kÃ¤skudega
(nt~\verb|\updownarrow|).
\begin{example}
\begin{equation*}
{a,b,c} \neq \{a,b,c\}
\end{equation*}
\end{example}

Kui avava piiraja ette lisada \ci{left} ja sulgeva piiraja ette
\ci{right}, siis valib \LaTeX{} automaatselt piiraja Ãµige suuruse. Iga
\ci{left} jaoks peab olemas olema vastav sulgev \ci{right}. Kui sulgevat
piirajat pole, siis tuleb kasutada nÃ¤htamatut sulgejat \ci{right.}:
\begin{example}
\begin{equation*}
1 + \left(\frac{1}{1-x^{2}}
    \right)^3 \qquad
\left. \ddagger \frac{~}{~}\right)
\end{equation*}
\end{example}

MÃµnel juhul tuleb seada valemis piiraja Ãµige suurus kÃ¤sitsi, selleks
vÃµib enamiku piirajate ette lisada kÃ¤su \ci{big}, \ci{Big}, \ci{bigg}
vÃµi \ci{Bigg}:
\begin{example}
$\Big((x+1)(x-1)\Big)^{2}$\\
$\big( \Big( \bigg( \Bigg( \quad
\big\} \Big\} \bigg\} \Bigg\} \quad
\big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\| \quad
\big\Downarrow \Big\Downarrow
\bigg\Downarrow \Bigg\Downarrow$
\end{example}
KÃµigi vÃµimalike piirajate nimekiri on toodud tabelis~\ref{tab:delimiters}
lehekÃ¼ljel \pageref{tab:delimiters}.

\section{Liiga pikad Ã¼ksikvalemid: \ei{multline}}
\index{pikad valemid}\index{valem!pikk}
\label{sec:multline}

Kui valem on liiga pikk, tuleb teda mingit viisi murda. Paraku pole
murtud valemid tÃ¼Ã¼piliselt nii lihtsasti loetavad kui murdmata valemid.
Loetavuse parandamiseks on olemas mÃµned reeglid, kuidas murdmist
sooritada.
\begin{enumerate}
\item Ãœldiselt tuleks alati murda valemit \emph{enne} vÃµrdusmÃ¤rki vÃµi
  tehtemÃ¤rki.
\item Murdmine enne vÃµrdusmÃ¤rki on eelistatum vÃµrreldes murdmisega enne
  Ã¼kskÃµik millist tehtemÃ¤rki.
\item Murdmine enne pluss- vÃµi miinusmÃ¤rki on eelistatum vÃµrreldes
  murdmisega enne korrutamismÃ¤rki.
\item Igasugust muud tÃ¼Ã¼pi murdmist tuleks vÃµimalikult vÃ¤ltida.
\end{enumerate}
KÃµige lihtsam viis valemit murda on kasutada keskkonda
\ei{multline}:\footnote{Keskkond \ei{multline} on defineeritud
paketis \pai{amsmath}.}
\begin{example}
\begin{multline}
  a + b + c + d + e + f
  + g + h + i \\
  = j + k + l + m + n
\end{multline}
\end{example}
\noindent
Erinevus keskkonnast \ei{equation} on see, et suvalistesse kohtadesse
saab lisada reavahetusi (vÃµi ka mitu reavahetust): panna \ci{\bs}
sinna, kust valemit on murda vaja. Sarnaselt keskkonnale \ei{equation*}
on olemas ka keskkonna variant \ei{multline*} valeminumbri
vÃ¤ltimiseks.\index{kÃ¤sk!tÃ¤rniga}\index{tÃ¤rniga kÃ¤sk}

Sageli annab paremaid tulemusi keskkond \ei{IEEEeqnarray} (vt
jaotist~\ref{sec:IEEEeqnarray}). Vaatleme jÃ¤rgmist olukorda:
\begin{example}
\begin{equation}
  a = b + c + d + e + f
  + g + h + i + j
  + k + l + m + n + o + p
  \label{eq:liiga_pikk_valem}
\end{equation}
\end{example}
\noindent
Siin on liiga pikk tegelikult vÃµrduse parem pool, mis ei mahu Ã¼hele
reale Ã¤ra. Keskkond \ei{multline} annab jÃ¤rgmise vÃ¤ljundi:
\begin{example}
\begin{multline}
  a = b + c + d + e + f
  + g + h + i + j \\
  + k + l + m + n + o + p
\end{multline}
\end{example}
\noindent See on parem kui \eqref{eq:liiga_pikk_valem}, kuid sellega
kaotab vÃµrdusmÃ¤rk oma loomuliku suurema tÃ¤htsuse tÃ¤he $k$ ees
oleva plussmÃ¤rgi suhtes. Keskkonna \ei{IEEEeqnarray} pakutavat paremat
lahendust vaatleme Ã¼ksikasjalisemalt jÃ¤rgmises jaotises.

\section{Mitu valemit}
\index{valem!mitu}
\label{sec:IEEEeqnarray}

KÃµige Ã¼ldisemalt on meil hulk valemeid, mis ei mahu Ã¼hele reale. Sel
juhul peame tegutsema vertikaaljoondusega, et valemite massiivi struktuur
saaks kena ja loetav.

Enne kui esitame oma ettepanekud, kuidas seda teha, alustame paari halva
nÃ¤itega, mis demonstreerivad mÃµne levinud lahenduse suurimaid
puudujÃ¤Ã¤ke.

\subsection{TavapÃ¤raste kÃ¤skude probleemid}
\label{sec:problems_traditional}

Mitu valemit saab kokku vÃµtta keskkonnas \ei{align}:\footnote{Keskkonna
\ei{align} abil vÃµib paigutada ka mitu valemiplokki Ã¼ksteise
kÃµrvale. See on veel Ã¼ks hea keskkonna \ei{IEEEeqnarray} kasutusjuht:
argumendiks panna \texttt{\{rCl+rCl\}}.}
\begin{example}
\begin{align}
  a &amp; = b + c \\
  &amp; = d + e
\end{align}
\end{example}
\noindent See lÃ¤henemine ei tÃ¶Ã¶ta, kui Ã¼ks rida on liiga pikk:
\begin{example}
\begin{align}
  a &amp; = b + c \\
  &amp; = d + e + f + g + h + i
  + j + k + l \nonumber \\
  &amp; + m + n + o \\
  &amp; = p + q + r + s
\end{align}
\end{example}
\noindent Siin peaks $+\:m$ asuma $d$ all, mitte vÃµrdusmÃ¤rgi all.
Loomulikult vÃµib lisada veidi ruumi (\verb+\hspace{...}+), kuid see ei
anna kunagi tÃ¤pset paigutust (ja on halb stiil \ldots).

Parema lahenduse pakub keskkond \ei{eqnarray}:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  a &amp; = &amp; b + c \\
  &amp; = &amp; d + e + f + g + h + i
  + j + k + l \nonumber \\
  &amp;&amp; +\: m + n + o \\
  &amp; = &amp; p + q + r + s
\end{eqnarray}
\end{example}
\noindent Siiski ei ole ka see optimaalne, sest vÃµrdusmÃ¤rgi Ã¼mber on
vahed liiga suured. Seejuures, vahed \emph{ei ole} samad mis
keskkondades \ei{multline} ja \ei{equation}:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  a &amp; = &amp; a = a
\end{eqnarray}
\end{example}
\noindent Lisaks kattub avaldis mÃµnikord valemi numbriga, kuigi vasakul
oleks piisavalt ruumi:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  a &amp; = &amp; b + c \\
  &amp; = &amp; d + e + f + g + h^2
  + i^2 + j
  \label{eq:viganeeqnarray}
\end{eqnarray}
\end{example}

\noindent Keskkond \ei{eqnarray} tunnistab kÃ¤sku \ci{lefteqn}, mida vÃµib
kasutada siis, kui vasak pool on liiga pikk:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  \lefteqn{a + b + c + d
    + e + f + g + h}\nonumber \\
  &amp; = &amp; i + j + k + l + m \\
  &amp; = &amp; n + o + p + q + r + s
\end{eqnarray}
\end{example}
\noindent See ei ole samuti optimaalne, sest kui parem pool on liiga
kitsas, siis pole massiiv korralikult tsentreeritud:
\begin{example}
\begin{eqnarray}
  \lefteqn{a + b + c + d
    + e + f + g + h}\nonumber \\
  &amp; = &amp; i + j
\end{eqnarray}
\end{example}

\noindent Olles nÃ¼Ã¼d konkurente piisavalt maha teinud, vÃµime leebelt
vÃµtta suuna hiilgava lahenduse poole, milleks on \ldots

\subsection{Keskkond \ei{IEEEeqnarray}}
\label{sec:IEEEeqnarray_intro}

Keskkond \ei{IEEEeqnarray} on vÃ¤ga vÃµimas ja paljude suvanditega. Siin
tutvustame ainult peamist funktsionaalsust, lisainfot leiab
manuaalist.\footnote{Ametlik manuaal on vÃ¤ljas aadressil
\CTAN|tex-archive/macros/latex/contrib/IEEEtran/IEEEtran_HOWTO.pdf|.
Keskkonda \ei{IEEEeqnarray} puudutav osa asub lisas~F.}

Keskkonna \ei{IEEEeqnarray} kasutamiseks tuleb dokumendi alguses sisse
lugeda pakett \pai{IEEEtrantools},\footnote{Pakett \pai{IEEEtrantools}
vÃµib installatsioonist puududa, selle leiab CTANist.} lisades dokumendi
pÃ¤isesse rea
\begin{lscommand}
\verb|\usepackage[retainorgcmds]{IEEEtrantools}|
\end{lscommand}

Keskkonna \ei{IEEEeqnarray} tugevuseks on vÃµimalus mÃ¤Ã¤rata valemite
massiivi \emph{veergude} arv. Tavaliselt on spetsifikatsiooniks
\verb+{rCl}+, see tÃ¤hendab, kolm veergu, esimene paremale joondatud,
keskmine tsentreeritud ja Ã¼mbritsevate vÃ¤ikeste vahedega (seepÃ¤rast
kirjutame suure \texttt{C} vÃ¤ikese \texttt{c} asemel) ning kolmas
vasakule joondatud:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a &amp; = &amp; b + c \\
  &amp; = &amp; d + e + f + g + h
  + i + j + k \nonumber\\
  &amp;&amp; \negmedspace {} + l + m
  + n + o \\
  &amp; = &amp; p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
Veerge vÃµib mÃ¤Ã¤rata Ã¼kskÃµik kui palju: \verb+{c}+ annab ainult Ã¼he
veeru, kus kÃµik kirjed on tsentreeritud, \verb+{rCll}+ lisab neljanda,
vasakule joondatud veeru nÃ¤iteks kommentaaride jaoks. Peale \texttt{l},
\texttt{c}, \texttt{r}, \texttt{L}, \texttt{C}, \texttt{R}
valemire\v{z}iimis kirjete joondamiseks on olemas ka \texttt{s},
\texttt{t}, \texttt{u} vasakule, keskele ja paremale joondatud
tekstire\v{z}iimis kirjete jaoks. Spetsifikaatoritega \texttt{.} ja
\texttt{/} ja \texttt{?} saab jÃ¤tta lisavahesid kasvavas
jÃ¤rjekorras.\footnote{Vahede tÃ¼Ã¼pidest on veel juttu
jaotises~\ref{sec:putting-qed-right}.} TÃ¤hele tasub panna vahesid
vÃµrdusmÃ¤rgi Ã¼mber, vastandina keskkonna \ei{eqnarray} lisatavatele
vahedele.

\subsection{Tavakasutus}
\label{sec:common-usage}

JÃ¤rgnevalt kirjeldame, kuidas lahendada levinumaid probleeme keskkonna
\ei{IEEEeqnarray} abil.

Kui rida kattub valemi numbriga nagu valemis \eqref{eq:viganeeqnarray},
siis aitab kÃ¤sk \ci{IEEEeqnarraynumspace}. See kÃ¤sk tuleb panna
vastavasse ritta ja ta nihutab tervet valemimassiivi valemi numbri
laiuse vÃµrra vasakule (nihe sÃµltub numbri suurusest!). Seega
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a &amp; = &amp; b + c \\
  &amp; = &amp; d + e + f + g + h
  + i + j + k \\
  &amp; = &amp; l + m + n
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent asemel saame
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a &amp; = &amp; b + c \\
  &amp; = &amp; d + e + f + g + h
  + i + j + k
  \IEEEeqnarraynumspace \\
  &amp; = &amp; l + m + n.
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

Kui vasak pool on liiga pikk, pakub \ei{IEEEeqnarray} kÃ¤su
\ci{lefteqn} asemel kÃ¤sku \ci{IEEEeqnarraymulticol}, mis tÃ¶Ã¶tab igas
olukorras:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{
    a + b + c + d + e + f + g + h
  }\nonumber\\
  \quad &amp; = &amp; i + j \\
  &amp; = &amp; k + l + m
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent Kasutamine sarnaneb keskkonna \ei{tabular} kÃ¤suga
\ci{multicolumns}. Esimene argument \verb+{3}+ mÃ¤Ã¤rab, et kolm veergu
Ã¼hendatakse Ã¼heks veeruks, teine argument \verb+{l}+ aga Ã¼tleb, et
saadud veerg joondatakse vasakule.

KÃ¤skude \ci{quad} ja \ci{qquad} lisamisega saab lihtsasti sÃ¤ttida
vÃµrdusmÃ¤rkide sÃ¼gavust,\footnote{Kaugus Ã¼ks \ci{quad} paistab hea
enamikul juhtudel.} nt
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{
    a + b + c + d + e + f + g + h
  }\nonumber\\
  \qquad\qquad &amp; = &amp; i + j \\
  &amp; = &amp; k + l + m
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

Kui valem on jaotatud kahele vÃµi enamale reale, siis interpreteerib
\LaTeX{} esimest mÃ¤rki $+$ vÃµi $-$ liikme mÃ¤rgina, mitte kahekohalise
tehte tÃ¤hisena. SeetÃµttu on vaja tehtemÃ¤rgi ja liikme vahele lisaruumi:
seega
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a &amp; = &amp; b + c \\
  &amp; = &amp; d + e + f + g + h
  + i + j + k \nonumber\\
  &amp;&amp; + l + m + n + o \\
  &amp; = &amp; p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent asemel peaksime kirjutama
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a &amp; = &amp; b + c \\
  &amp; = &amp; d + e + f + g + h
  + i + j + k \nonumber\\
  &amp;&amp; \negmedspace {} + l + m
  + n + o \\
  &amp; = &amp; p + q + r + s
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}
\noindent Tasub tÃ¤hele panna ruumi $+$ ja $l$ vahel!

Konstruktsioon \verb|{} + l| mÃ¤Ã¤rab, et \verb|+| on siin kahekohaline
tehtemÃ¤rk, mitte lihtsalt arvu mÃ¤rk, ning sellest tuleneva soovimatu
tÃ¼hiku \verb|{}| ja \verb|+| vahel kompenseerib negatiivne keskmise
pikkusega hÃ¼pe \ci{negmedspace}.

Valemi numbri saab rea lÃµppu trÃ¼kkimata jÃ¤tta kÃ¤suga \ci{nonumber} (vÃµi
\ci{IEEEnonumber}). Kui sellises reas on defineeritud mÃ¤rgend
\verb+\label{...}+, siis antakse see edasi jÃ¤rgmisele valeminumbrile,
mida pole Ã¤ra keelatud. MÃ¤rgend tuleks panna otse reavahetuse \verb+\\+
ette vÃµi valemi jÃ¤rele, mille juurde number kuulub. Lisaks algteksti
loetavuse parandamisele vÃ¤ldib see kompileerimisviga, kui kÃ¤sk
\ci{IEEEmulticol} jÃ¤rgneb mÃ¤rgendi definitsioonile.

Keskkonnast on olemas ka tÃ¤rniga versioon, kus kÃµik valeminumbrid on
keelatud.\index{keskkond!tÃ¤rniga}\index{tÃ¤rniga keskkond}
Sel juhul vÃµib valeminumbril ilmuda lasta kÃ¤suga
\ci{IEEEyesnumber}:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
  a &amp; = &amp; b + c \\
  &amp; = &amp; d + e \IEEEyesnumber\\
  &amp; = &amp; f + g
\end{IEEEeqnarray*}
\end{example}

KÃ¤suga \ci{IEEEyessubnumber} saab lihtsasti moodustada alamnumbreid:
\begin{example}
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
  a &amp; = &amp; b + c
  \IEEEyessubnumber\\
  &amp; = &amp; d + e
  \nonumber\\
  &amp; = &amp; f + g
  \IEEEyessubnumber
\end{IEEEeqnarray}
\end{example}

\section{Massiivid ja maatriksid} \label{sec:arraymat}

\textbf{Massiivide} trÃ¼kkimiseks on keskkond \ei{array}, mis tÃ¶Ã¶tab
sarnaselt keskkonnaga \ei{tabular}. Ridu murtakse kÃ¤su \ci{\bs}
abil:
\begin{example}
  \begin{equation*}
    \mathbf{X} = \left(
      \begin{array}{ccc}
        x_1 &amp; x_2 &amp; \ldots \\
        x_3 &amp; x_4 &amp; \ldots \\
        \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots
      \end{array} \right)
  \end{equation*}
\end{example}

Keskkonnaga \ei{array} saab vormistada ka \index{harudega
funktsioonid}harudega funktsioone, lisades paremaks \ci{right} piirajaks
nÃ¤htamatu \verb|.|\,, nagu nÃ¤iteks
\begin{example}
\begin{equation*}
  |x| = \left\{
    \begin{array}{rl}
      -x, &amp; \text{kui } x &lt; 0,\\
      0, &amp; \text{kui } x = 0,\\
      x, &amp; \text{kui } x &gt; 0.
    \end{array} \right.
\end{equation*}
\end{example}
\noindent
TÃ¤helepanu vÃ¤Ã¤rib ka keskkond \ei{cases} lihtsama sÃ¼ntaksi tÃµttu:
\begin{example}
  \begin{equation*}
    |x| =
    \begin{cases}
      -x, &amp; \text{kui } x &lt; 0,\\
      0, &amp; \text{kui } x = 0,\\
      x, &amp; \text{kui } x &gt; 0.
    \end{cases}
\end{equation*}
\end{example}

Keskkonnaga \ei{array} saab moodustada maatrikseid\index{maatriks}, kuid
parema lahenduse pakub \pai{amsmath} oma erinevate
maatriksikeskkondadega. Neid on olemas kuus varianti eri piirajatega:
\ei{matrix} (pole), \ei{pmatrix}~$($\,, \ei{bmatrix}~$[$\,,
\ei{Bmatrix}~$\{$\,, \ei{vmatrix}~$\vert$ ja \ei{Vmatrix}~$\Vert$.
Erinevalt keskkonnast \ei{array} ei ole vaja mÃ¤Ã¤rata veergude arvu.
Maksimaalne veergude arv on 10, kuid see on seadistatav (kuigi 10 veergu
just vÃ¤ga tihti vaja ei lÃ¤he!):
\begin{example}
\begin{equation*}
  \begin{matrix}
    1 &amp; 2 \\
    3 &amp; 4
  \end{matrix} \qquad
  \begin{bmatrix}
    p_{11} &amp; p_{12} &amp; \ldots
    &amp; p_{1n} \\
    p_{21} &amp; p_{22} &amp; \ldots
    &amp; p_{2n} \\
    \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots
    &amp; \vdots \\
    p_{m1} &amp; p_{m2} &amp; \ldots
    &amp; p_{mn}
  \end{bmatrix}
\end{equation*}
\end{example}

\section{Vahed valemire\v{z}iimis} \label{sec:math-spacing}

\index{vahe!valemis}\index{tÃ¼hik!valemis} Kui \LaTeX i automaatselt
valitud vahed valemi sees ei sobi, siis saab neid ise sÃ¤ttida
spetsiaalseid vahekÃ¤ske lisades: \ci{,} pikkusega
$\frac{3}{18}\:\textrm{em}$ (\demowidth{0.166em}), \ci{:} pikkusega
$\frac{4}{18}\: \textrm{em}$ (\demowidth{0.222em}) ja \ci{;} pikkusega
$\frac{5}{18}\: \textrm{em}$ (\demowidth{0.277em}). Langjoonega tÃ¼hik
\verb*|\ | moodustab keskmise, sÃµnavahedega vÃµrreldava pikkusega vahe
ning \ci{quad} (\demowidth{1em}) ja \ci{qquad} (\demowidth{2em})
moodustavad pikemad vahed. Vahe \ci{quad} suurus sÃµltub tÃ¤he M laiusest
kehtivas kirjas. KÃ¤sk \verb|\!|\cih{"!} moodustab negatiivse vahe
pikkusega $-\frac{3}{18}\:\textrm{em}$ ($-$\demowidth{0.166em}).

\begin{example}
\begin{equation*}
  \int_1^2 \ln x \mathrm{d}x
  \qquad
  \int_1^2 \ln x \,\mathrm{d}x
\end{equation*}
\end{example}

Diferentsiaali tÃ¤ht d tuleks standardi kohaselt kirjutada pÃ¼stkirjas.
JÃ¤rgmises nÃ¤ites defineerime uue kÃ¤su \ci{ud} (pÃ¼stine d), mis annab
tulemuseks "`$\,\mathrm{d}$"' (enne tÃ¤hte $\text{d}$ on vahe
\demowidth{0.166em}), nii et meil pole iga kord vaja vahe Ã¼le muret
tunda. KÃ¤sk \verb|\newcommand| pannakse preambulisse.

%  More on
% \ci{newcommand} in section~\ref{} on page \pageref{}. To Do: Add label and
% reference to "Customising LaTeX" -&gt; "New Commands, Environments and Packages"
% -&gt; "New Commands".
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}

\begin{equation*}
 \int_a^b f(x)\ud x
\end{equation*}
\end{example}

Mitmekordsete integraalide trÃ¼kkimisel ilmneb, et vahed
integraalimÃ¤rkide vahel on liiga laiad. Neid vÃµib korrigeerida kÃ¤suga
\ci{"!}, kuid paketis \pai{amsmath} on olemas lihtsam vÃµimalus vahede
sÃ¤ttimiseks, nimelt kÃ¤sud \ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint} ja
\ci{idotsint}.

\begin{example}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}

\begin{IEEEeqnarray*}{c}
  \int\int f(x)g(y)
                  \ud x \ud y \\
  \int\!\!\!\int
         f(x)g(y) \ud x \ud y \\
  \iint f(x)g(y)  \ud x \ud y
\end{IEEEeqnarray*}
\end{example}

Ãœksikasju vÃµib vaadata elektroonilisest dokumendist
\texttt{testmath.tex} (tuleb kaasa \AmS-\LaTeX iga) vÃµi raamatu
\companion{} peatÃ¼kist~8.

\subsection{Fantoomid}

Joondades kÃ¤skudega \index{^@\texttt{\^{}}}\verb|^| ja
\index{_@\texttt{\_}}\verb|_| teksti vertikaalselt, on \LaTeX{} mÃµnikord
veidi liiga abivalmis. KÃ¤suga \ci{phantom} saab reserveerida ruumi
mÃ¤rkide jaoks, mis lÃµppvÃ¤ljundis ei ilmu. KÃµige lihtsam vÃµimalus sellest
aru saada on vaadata nÃ¤idet:
\begin{example}
\begin{equation*}
{}^{14}_{6}\text{C}
\qquad \text{vÃµrreldes} \qquad
{}^{14}_{\phantom{1}6}\text{C}
\end{equation*}
\end{example}
Kui on tarvis trÃ¼kkida palju selliseid isotoope nagu nÃ¤ites, siis on
pakett \pai{mhchem} vÃ¤ga kasulik nii isotoopide kui ka keemiliste
valmite vormistamiseks.

\section{Valemikirjade sÃ¤ttimine}\label{sec:fontsz}

Mitmesuguseid valemikirju on loetletud tabelis~\ref{mathalpha}
lehekÃ¼ljel \pageref{mathalpha}.
\begin{example}
 $\Re \qquad
  \mathcal{R} \qquad
  \mathfrak{R} \qquad
  \mathbb{R} \qquad $
\end{example}
\noindent Viimased kaks nÃµuavad paketti \pai{amssymb} vÃµi \pai{amsfonts}.

MÃµnikord on vaja \LaTeX ile teada anda Ãµige
kirjasuurus.\index{kirjasuurus} Valemire\v{z}iimis saab seda teha
jÃ¤rgmise nelja kÃ¤suga:
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
\ci{textstyle}~($\textstyle 123$),
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) ja
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}

Kui murru koosseisus esineb $\sum$, siis trÃ¼kitakse see tekstistiilis,
vÃ¤lja arvatud juhul, kui nÃµuda \LaTeX ilt vastupidist:
\begin{example}
\begin{equation*}
 P = \frac{\displaystyle {
   \sum_{i=1}^n (x_i-x)
   (y_i-y)}}
   {\displaystyle{\left[
   \sum_{i=1}^n(x_i-x)^2
   \sum_{i=1}^n(y_i-y)^2
   \right]^{1/2}}}
\end{equation*}
\end{example}
\noindent Ãœldiselt mÃµjutab stiilide muutmine suurte operaatorite ja
rajade kujutamist.

% This is not a math accent, and no maths book would be set this way.
% mathop gets the spacing right.

\subsection{Paksud sÃ¼mbolid}
\index{paksud sÃ¼mbolid}

\LaTeX is on pÃ¤ris raske saada valemitesse pakse sÃ¼mboleid; see on
arvatavasti meelega nii tehtud, sest amatÃ¶Ã¶rkujundajad kipuvad neid Ã¼le
kasutama. Kirjamuutmise kÃ¤sk \ci{mathbf} kÃ¼ll annab paksud tÃ¤hed,
kuid need on pÃ¼stkirjas, samas kui matemaatilised sÃ¼mbolid on tavaliselt
kursiivis, ja samuti ei tÃ¶Ã¶ta see vÃ¤ikeste kreeka tÃ¤htedega. On olemas
kÃ¤sk \ci{boldmath}, kuid seda saab kasutada ainult vÃ¤ljaspool
valemire\v{z}iimi. Siiski tÃ¶Ã¶tab see ka sÃ¼mbolitega:
\begin{example}
$\mu, M \qquad
\mathbf{\mu}, \mathbf{M}$
\qquad \boldmath{$\mu, M$}
\end{example}

Pakett \pai{amsbsy} (sisaldub \pai{amsmath}is) ning ka pakett \pai{bm}
komplektist Tools teevad selle palju lihtsamaks, sest defineerivad kÃ¤su
\ci{boldsymbol}:
\begin{example}
$\mu, M \qquad
\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M}$
\end{example}

\section{Teoreemid, lemmad, \ldots}

Matemaatilisi dokumente kirjutades on arvatavasti vaja vormistada
teoreeme, lemmasid, definitsioone, aksioome ja teisi analoogilisi
struktuure.
\begin{lscommand}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{nimi}\verb|}[|\emph{loendur}\verb|]{|%
         \emph{tiitel}\verb|}[|\emph{jaotis}\verb|]|
\end{lscommand}
\noindent Argument \emph{nimi} on lÃ¼hike vÃµtmesÃµna, mille jÃ¤rgi
teoreemi identifitseeritakse. Argumendiga \emph{tiitel} mÃ¤Ã¤ratakse
teoreemi tegelik nimi, nagu see trÃ¼kitakse lÃµppdokumendis.

Nurksulgudes argumendid on valikulised. MÃµlemad neist mÃ¤Ã¤ravad
teoreemiga seotud nummerduse. Argument \emph{loendur} on varem
deklareeritud teoreemi \emph{nimi}. Uus teoreem nummerdatakse
siis samas jadas. Argument \emph{jaotis} on liigendusÃ¼ksus, mille
piirides teoreemi number muutub.\pagebreak[3]

PÃ¤rast dokumendi pÃ¤ises kÃ¤su \ci{newtheorem} tÃ¤itmist vÃµib kirjutada:
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{nimi}\verb|}[|\emph{lisatekst}\verb|]|\\
See on minu pÃµnev teoreem.\\
\verb|\end{|\emph{nimi}\verb|}|
\end{code}

Paketi \pai{amsthm} (kuulub \AmS-\LaTeX i) kÃ¤sk
\ci{theoremstyle}\verb|{|\emph{stiil}\verb|}| vÃµimaldab ette anda, mille
kohta teoreem kÃ¤ib, valides Ã¼he kolmest eeldefineeritud stiilist:
\texttt{definition} (paks tiitel, pÃ¼stkirjas sisu), \texttt{plain} (paks
tiitel, kursiivis sisu) vÃµi \texttt{remark} (kursiivis tiitel,
pÃ¼stkirjas sisu).

NÃ¼Ã¼d peaks teooriat olema piisavalt. JÃ¤rgmised nÃ¤ited peaksid hajutama
viimasegi kahtluse ja tegema selgeks, et kÃ¤sk \ci{newtheorem} on
arusaamiseks kaugelt liiga keeruline.

% actually define things
\theoremstyle{definition} \newtheorem{seadus}{Seadus}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{kohus}[seadus]{Kohus}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{marg}{Margaret}

KÃµigepealt defineerime teoreemid:

\begin{verbatim}
\theoremstyle{definition} \newtheorem{seadus}{Seadus}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{kohus}[seadus]{Kohus}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{marg}{Margaret}
\end{verbatim}

\begin{example}
\begin{seadus} \label{seadus:pink}
Ã„ra peida end kohtupingis!
\end{seadus}
\begin{kohus}[Kaksteist]
See vÃµid olla sina! Vaata ette
ja loe seadust~\ref{seadus:pink}.
\end{kohus}
\begin{kohus}
Sa ignoreerid viimast Ã¼tlust.
\end{kohus}
\begin{marg}Ei, ei, ei\end{marg}
\begin{marg}Denis!\end{marg}
\end{example}

Teoreem \texttt{kohus} kasutab sama loendurit nagu teoreem
\texttt{seadus}, seetÃµttu nummerdatakse teda samas jadas teiste
"`seadustega"'. Nurksulgudes argumendiga mÃ¤Ã¤ratakse teoreemi nimetus
vms.
\begin{example}
\newtheorem{mur}{Murphy}[section]

\begin{mur}
Kui millegi tegemiseks on kaks
viisi ja Ã¼ks viis vÃµib viia
katastroofini, siis keegi
kindlasti seda viisi kasutab.
\end{mur}
\end{example}

Teoreem \texttt{Murphy} saab numbri, mis on seotud jooksva jaotisega.
LiigendusÃ¼ksus vÃµib olla ka midagi muud, nÃ¤iteks peatÃ¼kk vÃµi alajaotis.

Kes soovib oma teoreeme seadistada viimase punktini, sellele annab
rohkelt vÃµimalusi pakett \pai{ntheorem}.

\subsection{TÃµestused ja tÃµestuse lÃµpumÃ¤rk}
\label{sec:putting-qed-right}\index{tÃµestuse lÃµpumÃ¤rk}

Pakett \pai{amsthm} defineerib ka keskkonna \ei{proof}.

\begin{example}
\begin{proof}
Triviaalne, kasuta valemit
 \begin{equation*}
   E=mc^2.
 \end{equation*}
\end{proof}
\end{example}

KÃ¤suga \ci{qedhere} saab viia tÃµestuse lÃµpumÃ¤rgi mujale olukorras,
kus see muidu jÃ¤Ã¤ks reale Ã¼ksikuna.

\begin{example}
\begin{proof}
Triviaalne, kasuta valemit
 \begin{equation*}
   E=mc^2. \qedhere
 \end{equation*}
\end{proof}
\end{example}

Kahjuks ei tÃ¶Ã¶ta see keskkonnaga \ei{IEEEeqnarray}:
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tÃµestus, mis lÃµpeb
  valemite massiiviga:
  \begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
    a &amp; = &amp; b + c \\
    &amp; = &amp; d + e. \qedhere
  \end{IEEEeqnarray*}
\end{proof}
\end{example}
\noindent
Selle pÃµhjuseks on \ei{IEEEeqnarray} siseehitus: massiivist
kummalegi poole lisatakse alati kaks nÃ¤htamatut veergu, mis
sisaldavad ainult venivat ruumi. Nii kindlustab \ei{IEEEeqnarray}, et
valemite massiiv on horisontaalselt joondatud keskele. KÃ¤sk \ci{qedhere}
tuleks panna sellest venivast ruumist \emph{vÃ¤ljapoole}, kuid seda ei
saa, sest need veerud on kasutajale
nÃ¤htamatud.

\enlargethispage{\baselineskip}%
Leidub aga vÃ¤ga lihtne vÃ¤ljapÃ¤Ã¤s: veniva ruumi vÃµib ette anda otse!
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tÃµestus, mis lÃµpeb
  valemite massiiviga:
  \begin{IEEEeqnarray*}{+rCl+x*}
    a &amp; = &amp; b + c \\
    &amp; = &amp; d + e. &amp; \qedhere
  \end{IEEEeqnarray*}
\end{proof}
\end{example}
\noindent
Argumendis \verb={+rCl+x*}= tÃ¤histab \verb=+= venivat ruumi, Ã¼ks
valemist vasakul (mille \ei{IEEEeqnarray} paneb automaatselt, kui
seda pole mÃ¤Ã¤ratud!) ja teine paremal. Kuid nÃ¼Ã¼d lisame paremale,
\emph{pÃ¤rast} venivat veergu tÃ¼hja veeru \verb=x=. Seda veergu on vaja
ainult viimases reas, kui sinna pannakse kÃ¤sk \ci{qedhere}.
LÃµppu kirjutame veel \verb=*=\,, mis mÃ¤Ã¤rab null-ruumi, et
\ei{IEEEeqnarray} ise teist soovimatut \verb=+=-ruumi ei lisaks.

Valemite nummerdamisel esineb sarnane probleem. Kui vÃµrdleme
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tÃµestus, mis lÃµpeb
  nummerdatud valemiga:
  \begin{equation}
    a = b + c.
  \end{equation}
\end{proof}
\end{example}
\noindent ja
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tÃµestus, mis lÃµpeb
  nummerdatud valemiga:
  \begin{equation}
    a = b + c. \qedhere
  \end{equation}
\end{proof}
\end{example}
\noindent
siis nÃ¤eme, et teises (Ãµiges) variandis asub $\Box$ valemile palju
lÃ¤hemal kui esimeses variandis.

Analoogiliselt, Ãµige viis panna tÃµestuse lÃµpumÃ¤rk nummerdatud valemite
massiivi lÃµppu on jÃ¤rgmine:
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tÃµestus, mis lÃµpeb
  valemite massiiviga:
  \begin{IEEEeqnarray}{+rCl+x*}
    a &amp; = &amp; b + c \\
    &amp; = &amp; d + e. \\
    &amp;&amp;&amp; \qedhere\nonumber
  \end{IEEEeqnarray}
\end{proof}
\end{example}
\noindent vastandina variandile
\begin{example}
\begin{proof}
  See on tÃµestus, mis lÃµpeb
  valemite massiiviga:
  \begin{IEEEeqnarray}{rCl}
    a &amp; = &amp; b + c \\
    &amp; = &amp; d + e.
  \end{IEEEeqnarray}
\end{proof}
\end{example}


%

% Local Variables:
% TeX-master: "lshort"
% mode: latex
% mode: flyspell
% End:

</pre></body></html>